二叉树算法 - 数据结构与算法系列

Friday. April 26, 2019 - 4 mins

数据结构与算法系列（三十一）

为什么要引入二叉排序树

我们前面已经介绍了很多数据结构，比如数组、链表、散列表等，数组查找性能高，但是插入、删除性能差，链表插入、删除性能高，但查找性能差，在不考虑散列冲突的话，散列表的插入、删除、查找性能都很高，但是前提是没有散列冲突，此外，散列表存储的数据是无序的，散列表的扩容非常麻烦，涉及到散列冲突时，性能不稳定，另外，散列表用起来爽，构造起来可不简单，要考虑散列函数的设计、哈希冲突的解决、扩容缩容等一系列问题，有没有一种插入、删除、查找性能都不错，构建起来也不是很复杂，性能还很稳定的数据结构呢？这就是我们今天要介绍的数据结构 —— 二叉排序树。

什么是二叉排序树

二叉排序树是一种特殊的二叉树，我们重点关注「排序」二字，二叉排序树要求，在树中的任意一个节点，其左子树中的每个节点的值，都要小于这个节点的值，而右子树节点的值都大于这个节点的值，所以这么看来，二叉排序树是天然有序的，如果按照昨天讲的中序遍历，得到将是一个从小到大的有序数据集。但是构造二叉排序树的目的，并不是为了排序，而是为了提高查找、插入和删除的速度。不管怎么说，在一个有序数据集上查找数据肯定比无序数据集要快，同时二叉排序树这种非线性结构，也非常有利于插入和删除的实现。

注：二叉排序树也叫做二叉查找树，二叉搜索树，你如果看到类似概念，它们是一个意思。

下面我们就来看看如何实现二叉排序树的插入、查找和删除以及它们对应的时间复杂度。

二叉排序树的插入

首先我们先定义好基本的类结构，还是通过二叉链表来存储二叉排序树，对应的节点类如下：

class Node
{
    public $data;
    public $left = null;
    public $right = null;

    public function __construct($data)
    {
        $this->data = $data;
    }
}

然后，我们定义下二叉排序树对应类的基本结构：

class BinarySortedTree
{
    /**
     * @var Node
     */
    private $tree;

    public function getTree()
    {
        return $this->tree;
    }
}

然后我们按照二叉排序树的定义，实现对应二叉排序树节点的插入方法：

// 插入节点数据
public function insert(int $data)
{
    // 如果是空树，则将数据插入到根节点
    if (!$this->tree) {
        $this->tree = new Node($data);
        return;
    }
    $p = $this->tree;
    while ($p) {
        if ($data < $p->data) {
            if (!$p->left) {
                $p->left = new Node($data);
                return;
            }
            $p = $p->left;
        } elseif ($data > $p->data) {
            if (!$p->right) {
                $p->right = new Node($data);
                return;
            }
            $p = $p->right;
        }
    }
}

如果是空树，则将其作为根节点，否则判断插入节点数据与当前节点数据的大小，如果小于当前节点，则递归遍历左子树，找到对应的位置插入，如果大于当前节点，则递归遍历右子树找到对应的位置插入。

我们可以写一段简单的测试代码测试节点插入：

$tree = new BinarySortedTree();
$tree->insert(3);
$tree->insert(2);
$tree->insert(5);
$tree->insert(1);
$tree->insert(4);
midOrderTraverse($tree->getTree());

这里我们使用了上一篇编写的中序遍历方法 midOrderTraverse，对应的输出结果如下：

二叉排序树的查找

二叉排序树的删除比较复杂，我们先来看查找实现，查找实现非常简单，和插入类似，依次递归比较就好了，直到直到对应节点，或者返回空，表示没有找到：

// 查找节点
public function find(int $data)
{
    $p = $this->tree;
    while ($p) {
        if ($data < $p->data) {
            $p = $p->left;
        } elseif ($data > $p->data) {
            $p = $p->right;
        } else {
            return $p;
        }
    }
    return null;
}

还是借助前面的测试代码，我们可以通过

var_dump($tree->find(3));

打印找到节点的对象信息。

二叉排序树的删除相对而言要复杂一些，需要分三种情况来处理：

第一种情况是，如果要删除的节点没有子节点，我们只需要直接将父节点中，指向要删除节点的指针置为 null。比如图中的删除节点 55。
第二种情况是，如果要删除的节点只有一个子节点（只有左子节点或者右子节点），我们只需要更新父节点中，指向要删除节点的指针，让它指向要删除节点的子节点就可以了。比如图中的删除节点 13。
第三种情况是，如果要删除的节点有两个子节点，这就比较复杂了。我们需要找到这个节点的右子树中的最小节点，把它替换到要删除的节点上。然后再删除掉这个最小节点，因为最小节点肯定没有左子节点（如果有左子结点，那就不是最小节点了），所以，我们可以应用上面两条规则来删除这个最小节点。比如图中的删除节点 18。（同理，也可以通过待删除节点的左子树中的最大节点思路来实现）

下面我们给出删除逻辑实现代码：

// 删除
public function delete(int $data)
{
    if (!$this->tree) {
        return;
    }

    $p = $this->tree;
    $pp = null;  // p 的父节点
    // 查找待删除节点
    while ($p && $p->data != $data) {
        $pp = $p;
        if ($p->data < $data) {
            $p = $p->right;
        } else {
            $p = $p->left;
        }
    }
    // 指定删除数据在二叉树中不存在
    if ($p == null) {
        return;
    }

    // 待删除节点有两个子节点
    if ($p->left && $p->right) {
        $minP = $p->right;  // 右子树中的最小节点
        $minPP = $p;  // $minP 的父节点
        // 查找右子树中的最小节点
        while ($minP->left) {
            $minPP = $minP;
            $minP = $minP->left;
        }
        $p->data = $minP->data;  // 将 $minP 的数据设置到 $p 中
        $p = $minP;  // 下面就变成删除 $minP 了
        $pp = $minPP;
    }

    $child = null;
    if ($p->left) {
        $child = $p->left;
    } elseif ($p->right) {
        $child = $p->right;
    } else {
        $child = null;
    }

    if (!$pp) {
        $this->tree = $child;   // 删除的是根节点
    } elseif ($pp->left == $p) {
        $pp->left = $child;
    } else {
        $pp->right = $child;
    }
}

二叉排序树的时间复杂度

不论是插入、删除、还是查找，二叉排序树的时间复杂度都等于二叉树的高度，最好的情况当然是满二叉树或完全二叉树，此时根据完全二叉树的特性，时间复杂度是O(logn)，性能相当好，最差的情况是二叉排序树退化为线性表（斜树），此时的时间复杂度是 O(n)，所以二叉排序树的形状也很重要，不同的形状会影响最终的操作性能，所以下一篇我们将讨论如何实现平衡的二叉排序树 —— 平衡二叉树。